LIMITES FINITOS Y LIMITES INFINITOS

Límite finito de una función

limx->a f(x)=b <=> para todo ε>0 existe δ>0 / para todo x,0 < |x-a| < δ|f(x) – b| < ε.

Otra notación:
limx->a f(x)=b <=> para todo Eb,ε existe un E*a,δ / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece a Eb,ε.

Se dice que la función f(x) tiene límite b, cuando x tiende a a, si dado ε positivo arbitrario y tan pequeño como se quiera, existe un δ tal que para todo x perteneciente al entorno reducido de a de radio δ, la función pertenece al entorno de b de radio ε.

Dicho de otro modo, para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un δ tal que para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) está dentro del entorno de b de radio ε.

Ilustración geométrica del límite

limx->af(x)=b significa que por más pequeño que sea el entorno considerado alrededor de b, va a ser posible encontrar un entorno de a, para cuyos valores x(x ≠ a), la función f da como resultado valores que están dentro del entorno de b considerado.

En otras palabras, la función f(x) tiene límite b, cuando x tiende a a, si el valor de la función f(x) se hace arbitrariamente próximo al valor b cuando x se aproxima al valor a.

Notar que la definición dice entorno reducido de a. Es decir que f(a) puede no existir, o puede estar fuera del entorno de b, pero el límite de f cuando x tiende a a sigue siendo b.

Función discontinua en a con límite finito en dicho punto f(a) ≠ b, pero limx->af(x)=b

Límite infinito en una funcion

Caso 1:

limx->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δf(x) > A.

El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A.

En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf.

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Caso 2:

limx->af(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δf(x) < -A.

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Caso 3:

limx->+inff(x) = +inf <=> para todoA > 0 existeB > 0 / para todox > Bf(x) > A.

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Para cualquier número positivo A (por grande que sea), es posible encontrar un número positivo B tal que para todos los x mayores que B, f(x) es mayor que A. Es decir que f(x) puede ser mayor que cualquier número, si x es lo suficientemente grande.

Caso 4

limx->+inff(x) = -inf <=> para todoA > 0 existeB > 0 / para todox > Bf(x) < -A.

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Caso 5:

limx->-inff(x) = +inf <=> para todoA > 0 existeB > 0 / para todox < -Bf(x) > A.

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Caso 6:

limx->-inff(x) = -inf <=> para todoA < 0 existeB < 0 / para todox < -Bf(x) < -A.

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Caso 7:

limx->+inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) pertenece al Eb,ε.

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Caso 8:

limx->-inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) pertenece al Eb,ε.

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